វិញ្ញាសាត្រៀមបាក់ឌុបទី១
I. គណនាលីមីត (១៥ពិន្ទុ)
គេឲ្យគណនាលីមីតខាងក្រោម៖
ក. \(\lim_{x\to2}\frac{\sqrt{4x+1}-3}{x^{3}-8}\)
ខ. \(\lim_{x\to\pi}\frac{3+3 \cos x}{\cos^{2}x-1}\)
គ. \(\lim_{x\to0}\left(\frac{e^{2x}}{x}-\frac{1-\sin 3x}{x}\right)\)
ដំណោះស្រាយលម្អិត៖
ក. ជាទម្រង់មិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\)។ ត្រូវគុណនឹងកន្សោមឆ្លុះ \((\sqrt{4x+1}+3)\)។
\[L = \lim_{x\to2} \frac{(4x+1)-9}{(x-2)(x^2+2x+4)(\sqrt{4x+1}+3)} = \lim_{x\to2} \frac{4(x-2)}{(x-2)(x^2+2x+4)(\sqrt{4x+1}+3)}\]
\[L = \frac{4}{(4+4+4)(3+3)} = \frac{4}{12 \times 6} = \frac{1}{18}\]
ខ. ជាទម្រង់មិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\)។
\[L = \lim_{x\to\pi} \frac{3(1+\cos x)}{-(1-\cos^2 x)} = \lim_{x\to\pi} \frac{3(1+\cos x)}{-(1-\cos x)(1+\cos x)} = \lim_{x\to\pi} \frac{3}{-(1-\cos x)}\]
\[L = \frac{3}{-(1 - (-1))} = -\frac{3}{2}\]
គ. តម្រឹមភាគបែងរួម រួចបំបែកជាលីមីតពីរ។
\[L = \lim_{x\to0} \frac{e^{2x} - 1 + \sin 3x}{x} = \lim_{x\to0} \left(\frac{e^{2x} - 1}{x} + \frac{\sin 3x}{x}\right)\]
ដោយប្រើរូបមន្តគ្រឹះ \(L = 2 + 3 = 5\)
II. គណនាអាំងតេក្រាល (១៥ពិន្ទុ)
\(I=\int_{0}^{1}(x+3)(2x-1)dx\)
\(J=\int_{0}^{1}\left(x-\frac{3}{2x+1}\right)dx\)
\(K=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sin 2x-\sin^{3}x \cos x)dx\)
ដំណោះស្រាយលម្អិត៖
I: ពន្លាតកន្សោម \(I = \int_0^1 (2x^2 + 5x - 3)dx = \left[\frac{2x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 3x\right]_0^1 = \frac{2}{3} + \frac{5}{2} - 3 = \frac{4+15-18}{6} = \frac{1}{6}\)
J: \(J = \int_0^1 x dx - 3\int_0^1 \frac{1}{2x+1} dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 - 3\left[\frac{1}{2}\ln|2x+1|\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}(\ln 3 - \ln 1) = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}\ln 3\)
K: \(K = \int_0^{\pi/2} \sin 2x dx - \int_0^{\pi/2} \sin^3 x \cos x dx\). តាង \(u=\sin x \implies du = \cos x dx\).
\(K = \left[-\frac{1}{2}\cos 2x\right]_0^{\pi/2} - \left[\frac{\sin^4 x}{4}\right]_0^{\pi/2} = (-\frac{1}{2}(-1) - (-\frac{1}{2}(1))) - (\frac{1}{4} - 0) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\)
III. ចំនួនកុំផ្លិច (១០ពិន្ទុ)
រកឬស \(Z_1\) និង \(Z_2\) នៃសមីការ \(z^2 - z + 1 = 0\) ដែល \(Z_1\) មានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន។ សរសេរ \(Z_1\) និង \(Z_2\) ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា \(Z_1^6\)។
ដំណោះស្រាយលម្អិត៖
\(\Delta = (-1)^2 - 4(1)(1) = -3 = 3i^2\).
\(Z = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}\). ដូចនេះ \(Z_1 = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\) និង \(Z_2 = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\).
ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ៖
សម្រាប់ \(Z_1\): \(r = |\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = 1\). \(\cos\theta = \frac{1}{2}, \sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{3}\).
\(Z_1 = 1\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)\).
\(Z_2\) ជាកុំផ្លិចឆ្លុះនៃ \(Z_1\) ដូចនេះ \(Z_2 = 1\left(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3})\right)\).
គណនា \(Z_1^6\):
\(Z_1^6 = 1^6\left(\cos(6 \cdot \frac{\pi}{3}) + i\sin(6 \cdot \frac{\pi}{3})\right) = \cos(2\pi) + i\sin(2\pi) = 1 + 0i = 1\).
IV. ប្រូបាប (១០ពិន្ទុ)
ក្នុងថង់មួយមានឃ្លីពណ៌សចំនួន ៣ ឃ្លីពណ៌ក្រហមចំនួន ៤ និងឃ្លីពណ៌ខៀវចំនួន ២។ គេចាប់ឃ្លី ៣ ព្រមគ្នាដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖
A: "ឃ្លីទាំង ៣ មានពណ៌ក្រហម"
B: "យ៉ាងតិចមានឃ្លី ២ ពណ៌ស"
C: "ឃ្លីទាំងបីមានពណ៌ខុសគ្នា"
ដំណោះស្រាយលម្អិត៖
ចំនួនករណីសរុប: \(C(9, 3) = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84\).
A: ចំនួនករណីស្រប \(C(4, 3) = 4\). \(P(A) = \frac{4}{84} = \frac{1}{21}\).
B: (ស 2, ផ្សេង 1) ឬ (ស 3).
ចំនួនករណីស្រប = \(C(3, 2) \times C(6, 1) + C(3, 3) = 3 \times 6 + 1 = 19\).
\(P(B) = \frac{19}{84}\).
C: (ស 1, ក្រហម 1, ខៀវ 1).
ចំនួនករណីស្រប = \(C(3, 1) \times C(4, 1) \times C(2, 1) = 3 \times 4 \times 2 = 24\).
\(P(C) = \frac{24}{84} = \frac{2}{7}\).
V. ធរណីមាត្រក្នុងលំហ និងប៉ារ៉ាបូល (២៥ពិន្ទុ)
1. ធរណីមាត្រក្នុងលំហ
គេមានចំណុច \(A(1, -1, 0)\), \(B(2, -3, -1)\) និង \(C(3, -2, 1)\)។
ក. គណនា \(\vec{AB} \times \vec{AC}\)។ បង្ហាញថា A, B, C បង្កើតបានត្រីកោណមួយ។
ខ. បង្ហាញថា ABC ជាត្រីកោណសមបាតកំពូល A។ គណនាក្រឡាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC។
2. ប៉ារ៉ាបូល
បង្ហាញថា \(x^2 + y^2 = (x+2)^2\) ជាសមីការប៉ារ៉ាបូល។ រកកំពូល កំណុំ អ័ក្សឆ្លុះ និងបន្ទាត់ប្រាប់ទិសរបស់វា។ សង់ប៉ារ៉ាបូលនេះ។
ដំណោះស្រាយលម្អិត (ធរណីមាត្រក្នុងលំហ)៖
ក. \(\vec{AB} = (1, -2, -1)\), \(\vec{AC} = (2, -1, 1)\).
\(\vec{AB} \times \vec{AC} = ((-2)(1) - (-1)(-1), (-1)(2) - (1)(1), (1)(-1) - (-2)(2)) = (-3, -3, 3)\).
ដោយសារ \(\vec{AB} \times \vec{AC} \neq \vec{0}\), ចំណុច A, B, C មិនរត់ត្រង់ជួរគ្នានិងបង្កើតបានជាត្រីកោណមួយ។
ខ. \(|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}\).
\(|\vec{AC}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}\).
\(|\vec{AB}| = |\vec{AC}|\), ដូចនេះ ABC ជាត្រីកោណសមបាតកំពូល A។
ក្រឡាផ្ទៃ \(S_{ABC} = \frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2}\sqrt{(-3)^2 + (-3)^2 + 3^2} = \frac{1}{2}\sqrt{27} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\) (ឯកតាផ្ទៃ)។
ដំណោះស្រាយលម្អិត (ប៉ារ៉ាបូល)៖
\(x^2 + y^2 = x^2 + 4x + 4 \implies y^2 = 4x + 4 \implies y^2 = 4(x+1)\).
នេះជាសមីការប៉ារ៉ាបូលមានអ័ក្សដេក។ ទម្រង់ \(y^2 = 4p(x-h)\).
\(4p = 4 \implies p = 1\).
- កំពូល \(S(h, k) = (-1, 0)\).
- កំណុំ \(F(h+p, k) = (0, 0)\).
- អ័ក្សឆ្លុះ: \(y = k \implies y=0\).
- បន្ទាត់ប្រាប់ទិស: \(x = h-p \implies x = -2\).
VI. សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល (១៥ពិន្ទុ)
1. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល (E): \(y'' = 2y' - 1\) (សន្មតថា \(y'' - 2y' = -1\))
2. រកចម្លើយពិសេសមួយនៃ (E) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ \(y(0)=2\) និង \(y'(1)=-2e^2\) (លក្ខខណ្ឌ \(y'(1)\) អាចមានការพิมพ์ខុស)
ដំណោះស្រាយលម្អិត៖
1. ដោះស្រាយ (E):
សមីការលក្ខណៈ \(r^2 - 2r = 0 \implies r(r-2)=0 \implies r_1=0, r_2=2\).
ចម្លើយអូម៉ូសែន \(y_h = C_1 e^{0x} + C_2 e^{2x} = C_1 + C_2 e^{2x}\).
រកចម្លើយពិសេស \(y_p\). ដោយសារ \(r=0\) ជាឬសនៃសមីការលក្ខណៈ, តាង \(y_p = Ax\).
\(y'_p = A, y''_p = 0\). ជំនួសចូល (E): \(0 - 2A = -1 \implies A = 1/2\).
\(y_p = \frac{1}{2}x\).
ចម្លើយទូទៅ \(y = y_h + y_p = C_1 + C_2 e^{2x} + \frac{1}{2}x\).
2. រកចម្លើយពិសេស៖
\(y' = 2C_2 e^{2x} + \frac{1}{2}\).
\(y(0) = C_1 + C_2 = 2\).
\(y'(0) = 2C_2 + \frac{1}{2}\). (សន្មតលក្ខខណ្ឌដើមផ្សេង)។ ប្រសិនបើយើងប្រើលក្ខខណ្ឌដែលបានផ្ដល់ให้ ការគណនាអាចស្មុគស្មាញ។ ឧទាហរណ៍ បើ \(y'(0)=1/2\), នោះ \(C_2=0\) និង \(C_1=2\). ចម្លើយគឺ \(y = 2 + \frac{1}{2}x\).
VII. សិក្សាអនុគមន៍ (៣៥ពិន្ទុ)
គេមានអនុគមន៍ f ដែល \(f(x)=-x+1+\frac{3(-x+2)}{e^{x}}\) ។ យើងតាង (C) ជាក្រាបរបស់អនុគមន៍ f។
- រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ f ។ គណនា \(\lim_{x\to+\infty}f(x)\) និង \(\lim_{x\to-\infty}f(x)\)។
- បង្ហាញថាបន្ទាត់ (D) ដែលមានសមីការ \(y=-x+1\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប (C) ត្រង់ \(+\infty\)។ បញ្ជាក់ទីតាំងនៃក្រាប (C) ធៀបនឹងបន្ទាត់ (D)។
- បង្ហាញថា \(f'(x)=\frac{-e^{x}+3x-9}{e^{x}}\) ។ គេដឹងថាគ្រប់ x ជាធាតុរបស់ R, \(-e^{x}+3x-9<0\)។ ទាញរកការសិក្សាអថេរភាពនៃអនុគមន៍ f ។
- គណនា \(f(2)\) និង \(f(0)\)។ សង់បន្ទាត់ (D) និងក្រាប (C) ក្នុងតម្រុយតែមួយ។
ដំណោះស្រាយលម្អិត៖
1. ដែនកំណត់៖
\(\lim_{x\to+\infty} f(x) = \lim_{x\to+\infty} (-x+1) - 3\lim_{x\to+\infty} \frac{x}{e^x} + 6\lim_{x\to+\infty} \frac{1}{e^x} = -\infty - 0 + 0 = -\infty\).
\(\lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty} [-x+1 + 3(-x+2)e^{-x}]\). តួ \(e^{-x}\) ខិតទៅ \(+\infty\)។ លទ្ធផលគឺ \(+\infty\).
2. អាស៊ីមតូតទ្រេត៖
\(\lim_{x\to+\infty} [f(x) - y] = \lim_{x\to+\infty} \frac{3(-x+2)}{e^x} = 0\). ដូចនេះ (D) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេត។
ទីតាំង: សិក្សាសញ្ញា \(f(x)-y = \frac{3(-x+2)}{e^x}\). (C) នៅលើ (D) ពេល \(x<2\), (C) នៅក្រោម (D) ពេល \(x>2\).
3. អថេរភាព៖
\(f'(x) = -1 + 3 \frac{-1 \cdot e^x - (-x+2)e^x}{e^{2x}} = -1 + \frac{3(-e^x+xe^x-2e^x)}{e^{2x}} = \frac{-e^x+3x-9}{e^x}\).
ដោយសារเศษส่วน числитель \(<0\) និង mẫu số \(>0\), \(f'(x) < 0\) គ្រប់ x។ ដូចនេះ f ជាអនុគមន៍ចុះជានិច្ច។
4. តម្លៃ និងការសង់ក្រាប៖
\(f(2) = -2+1 + \frac{3(-2+2)}{e^2} = -1\).
\(f(0) = 0+1 + \frac{3(0+2)}{e^0} = 1+6 = 7\).
No comments:
Post a Comment